Topologi pembolezaan adalah topologi yang mengkaji manifolds pemezaan dan peta yang berbeza. Dengan kemajuan topologi algebra dan geometri pembezaan, ia muncul semula pada tahun 1930-an. H. Whitney memberikan definisi umum manifold pembezaan pada tahun 1935 dan membuktikan bahawa ia sentiasa boleh tertanam dalam ruang Euclidean dimensi tinggi. Untuk mengkaji bidang vektor pada manifold pembezaan, beliau juga mencadangkan konsep pakej serat, supaya banyak masalah geometri berkaitan dengan homologi (kelas petunjuk) dan masalah homotopy.
Pada tahun 1953, teori kolokasi Rene Thom mencipta situasi di mana topologi pembezaan dan topologi algebra memajukan sebelah menyebelah. Banyak masalah topologi pembolezaan yang sukar telah berubah menjadi masalah topologi algebra dan diselesaikan, yang juga merangsang topologi algebra. Perkembangan selanjutnya. Pada tahun 1956, Milno mendapati bahawa sebagai tambahan kepada struktur pemezaan biasa pada sfera tujuh dimensi, terdapat juga struktur pemezaan yang luar biasa. Seterusnya, manifold yang tidak boleh diberikan apa-apa struktur pembizaan telah dibina oleh manusia. Semua ini menunjukkan bahawa tiga kategori manifolds topologi, manifolds pemezaan, dan manifold linear piecewise di antara mempunyai Perbezaan yang besar, topologi pemezaan telah diiktiraf sebagai cawangan bebas topologi. Pada tahun 1960, Smail membuktikan konjeksi Poincaré untuk manifolds pembezaan dengan lebih daripada lima dimensi. J.W. Milno et al. membangunkan kaedah asas untuk menangani manifolds pembezaan ─ ─ 剜讓擜, supaya klasifikasi manifold dengan lebih daripada lima dimensi telah secara beransur-ansur menjadi algebra.
Kawasan terkemuka adalah hubungan antara tiga kategori manifold di atas dan klasifikasi manifold tiga dimensi dan empat dimensi. Pencapaian utama pada awal 1980-an termasuk bukti konjeksi Poincaré empat dimensi dan penemuan struktur pembezaan luar biasa dalam ruang Euclidean empat dimensi. Penyelidikan seperti ini biasanya dipanggil topologi geometri untuk menekankan warna geometrinya, yang berbeza daripada teori homotopy algebraic.